Con la función logarítmica... algo más que su gráfica

Una práctica común es que al enseñar el tema de función logarítmica en la secundaria, dediquemos gran parte del tiempo a "ver" las características de dicha función.  Para ello, acostumbramos a "dibujar" la gráfica de un par de criterios: base 2 o 3 y luego base 0,5 o 0,25.  Luego hacemos un "maravilloso" razonamiento inductivo para decir que las demás son "iguales" a esas, según la base sea mayor que uno o un número entre 0 y 1.

No pretendo hacer una crítica ni desde el punto de vista didáctico ni matemático, solo quiero proponer algo que también se puede "ver" al graficar funciones logarítmicas, más ahora con la ayuda de Winplot.

Recordemos que para graficar una función logarítmica de base "a" se usa la instrucción log(a,x).  Se me ha ocurrido entonces poder graficar en un mismo sistema las funciones logarítmicas de bases 2, 3, 4 y 5; esto lo muestro en la siguiente figura:

Y quizás el software pueda servirnos para algo más que ahorrar tiempo y quitarnos la pereza de representar funciones "a mano alzada".  Simplemente podríamos pensar en establecer una relación de orden para esas funciones, considerando dos casos para los valores de x:

1. mayores que 1
2. entre 0 y 1

¿Qué se cumple?

Un ejemplo de función definida por intervalos

En Winplot también se pueden graficar funciones cuyo criterio se defina por intervalos.  La instrucción para hacerlo es utilizando una función ya definida, en particular, joinx.  La estructura o sintaxis básica para su uso es:  joinx(f|c,g|d,h), lo cual permite indicar que y = f(x) para x £ c,  y = g(x) para c < x £ d  y que y = h(x) para x > d.

Por ejemplo, para graficar la función f dada por:

Se utiliza en Winplot la siguiente descripción:

joinx(x+1|0,1-xx|2,-1)

La instrucción anterior se debe incluir luego de acceder de esta manera:

Ventana ® 2-dim ® Ecua ® Explícita

Y produce la siguiente gráfica:

Nota: Luego de introducir el criterio de la función f, se agregaron dos elementos más:

1) Ecua ® Explícita ® Punto  (x,y) ® x = 2, y = -3 ® tamaño de punto = 3, sólido, color = rojo
2) Ecua ® Explícita ® Punto  (x,y) ® x = 2, y = -1 ® tamaño de punto = 3, círculo, color = rojo

Gráfica de la función f dada por f(x) = sen x

Como se indicó en la entrada anterior, la función f dada por f(x) = sen x se grafica con la instrucción sin(x).  Para hacerlo en Winplot, basta escoger en "Ventana" la opción "2-dim" y allí "Ecua" y luego "Explícita".

Una vez en el cuadro de diálogo que se despliega, se escribe el criterio de la función en el espacio correspondiente y queda lista la representación (en el intervalo deseado). En la siguiente figura se muestra el resultado:

Nota: Para esta representación se cambió el ancho de lápiz a 3 y la densidad de dibujo a 100.

¿Cómo graficar una función definida por y = f(x)?

Para graficar funciones definidas por y = f(x) en dos dimensiones, utilizaremos la opción "Ecua" y allí "Explícita".

La notación funcional requiere paréntesis.  Por ejemplo, para graficar la función seno, se debe escribir sin(x).  Asimismo, se utilizan los símbolos algebraicos usuales.  Para denotar exponente, se utiliza ^.  En el caso del cuadrado de x se puede escribir x^2 o bien xx.  El símbolo de multiplicación * se puede omitir, es decir, 3x es lo mismo que 3*x.

A continuación aparecen algunas consideraciones acerca de la forma en que se debe ingresar el criterio de algunas funciones:

1. La función raíz cuadrada de x se escribe como sqr(x).
2. Las funciones trigonométricas se escriben así: sin(x), cos(x), tan(x), csc(x), sec(x), cot(x).
3. Las funciones trigonométricas inversas: arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccsc(x), arcsec(x), arccot(x).
4. Las funciones trigonométricas hiperbólicas: sinh(x), cosh(x), tanh(x), csch(x), sech(x), coth(x).
5. La función valor absoluto:  abs(x).
6. Las funciones logarítmicas: ln(x), log(x).  En caso de requerir la gráfica de una función logarítmica de otra base, es decir, log_bx se utiliza: log(b,x).
7. La función exponencial de base e:  exp(x).
8. La función parte entera:  floor(x).

Una vez definido el criterio de la función, es posible restringir el dominio al escribir los valores mínimo y máximo de x en las respectivas cajas de edición y seleccionar "intervalo fijo" para confirmarlo (esto reemplaza el intervalo predeterminado que es todo el ancho de la pantalla).

Inventario de Winplot

El "Inventario" es una opción que aparece automáticamente después de que se elabora la primera gráfica.  Permite examinar las gráficas ya existentes, así como efectuar modificaciones y otras construcciones.  Es posible seleccionar más de un elemento graficado (manteniendo la tecla Ctrl o Shift mientras se hace clic con el botón izquierdo del mouse).

Las opciones de "Inventario" se describen a continuación:

"edit": abre el diálogo que se usó para crear la gráfica y permite hacer cambios.

"borrar": desaparece la gráfica tanto del inventario como de la pantalla.  También se borran todas las ecuaciones que dependan de la gráfica seleccionada (por ejemplo, las derivadas).  No hay posibilidad de deshacer lo borrado.

"duplicar": copia la gráfica seleccionada y abre la posibilidad de edición.

"tabla": abre una ventana de texto con valores de la función seleccionada. Es posible alterar el contenido de la tabla haciendo clic en "params" en la barra de menús.

"derivar": calcula la derivada del ítem seleccionado. Esta opción de cálculo sólo se aplica a determinados ejemplos. El resultado se grafica y se añade al inventario.


"nombre": permite agregar una descripción textual de la gráfica (con una longitud máxima de 20 caracteres).

"ecuación": muestra la ecuación (los primeros 60 caracteres) del ejemplo seleccionado; con un segundo clic se remueve la ecuación.

"gráfico": oculta la gráfica del ejemplo seleccionado, sin borrar el ejemplo del inventario; un segundo clic restablece la gráfica.

"familia": convierte el ejemplo en una familia de curvas (o puntos). El ejemplo debe estar definido por una ecuación que tiene un parámetro extra.  El botón "familia" se puede utilizar para crear un grupo de ejemplos, para que ciertas operaciones (como girar, reflejar y trasladar) puedan aplicarse al grupo entero, pidiendo la operación para un solo ejemplo. Para crear un grupo, o para cambiar más tarde su contenido, se hace clic sobre el botón "familia" después de seleccionar más de un ejemplo. El grupo actual se marca en el inventario.

"red": dibuja una red sobre el gráfico de la función de tipo y =f(x). El valor inicial puede animarse asociándolo a uno de los parámetros A....W en la lista desplegable. El segmento inicial corta el eje x si selecciona "segmento inicial". La dirección de la red se mostrará con flechas si selecciona esa opción. "pasos" se refiere al número de veces que se aplica la función al valor inicial. Para deshacer la red, se cierra la ventana de diálogo con el botón "desdefinir".

El menú 2-dim

Cuando en la opción "Ventana" se escoge 2-dim, nos aparece una pantalla como la siguiente:

En "Archivo" podemos guardar y abrir archivos, imprimir, dar formato a la impresión, seleccionar impresora, copiar imágenes, exportar (en varios formatos), poner clave a la gráfica, mostrar los datos del autor(a) de la gráfica elaborada.

En "Ecua" se puede introducir la ecuación que se desea graficar de cuatro maneras:

1. Explícita
2. Paramétrica
3. Implícita
4. Polar

"Punto" permite representar puntos en un sistema de coordenadas (rectangulares o polares).  "Recta" posibilita graficar ecuaciones de la forma ax + by = c.  "Segmento" se utiliza para representar segmentos cuyos extremos se ingresan en la ventana correspondiente.  Tales extremos pueden estar dados en coordenadas rectangulares o polares.

La opción "Ecua Diferencial" tiene tres formatos:

1. dy/dx = F(x,y): para definir un campo de pendientes.
2. dx/dt = f(x,y,t) y dy/dt = g(x,y,t): estas ecuaciones definen un campo vectorial que depende de t así como de x "y" y.
3. derx(n,y): indica la derivada del orden n, respeto a x, de una función y. Utilice este diálogo para escoger el orden de la derivada más alta (10 no mas), y escribir la ecuación.

"Polinómicas" permite dibujar una curva (hasta de grado 8) que pasa por puntos escogidos.  Inicialmente se plantean tres puntos, los cuales se pueden mover porque la gráfica siempre está en estado de edición (para hacerlo se coloca el puntero del mouse sobre el punto y se arrastra).  Para aumentar otros puntos hay que hacer clic derecho en el lugar donde se quiere que aparezca el punto y la curva se adaptará a pasar por ese punto.  Como máximo se pueden colocar 9 puntos.


"Intrínsica" permite representar una curva en el plano, la cual se determina por su función de curvatura kappa(s), donde s es la longitud del arco. La definición exige un punto inicial y un vector tangente también.


"Sombreado": curvas de la forma y = f(x) pueden usarse para definir regiones sombreadas. Cada región se obtiene sombreando "arriba" o "debajo" de una curva seleccionada, o "entre" dos curvas seleccionadas. Para restringir los valores de x entre dos extremos, se selecciona "definir intervalo" y se escriben los valores extremos. También es posible llenar las regiones con color. Después de definir la región, se hace clic en "sombrear" para ver el resultado y añadirlo a la lista de regiones.

"Desigualdades": este ítem está disponible únicamente si hay ejemplos de funciones implícitas en el inventario.

Abrir Winplot

Cuando se hace clic en el ícono correspondiente al archivo ejecutable de la aplicación, lo primero que se tiene al abrir el Winplot es la siguiente ventana:

La opción "Ventana" despliega el siguiente menú de opciones:

Allí podemos seleccionar 2-dim para elaborar gráficas en dos dimensiones, o bien, 3-dim para tres dimensiones.

La opción "Adivinar" propone diferentes tipos de gráficas para que se determine e indique su ecuación.  Es realmente una ventana que presenta gráficas generadas al azar y que constituye un desafío para que la persona que lo utiliza identifique el criterio de la función correspondiente.  Si se selecciona esta opción, se despliegan otras posibilidades.  En particular, en "Ecua" se tiene:

"Nuevo gráfico" genera una gráfica nueva (se puede hacer lo mismo con la tecla F2), "Adivinar..." abre un cuadro de diálogo para introducir el criterio de la función, "Respuesta..." brinda la respuesta correcta.  La opción "Seleccionar..." es realmente interesante y ofrece las siguientes posibilidades:

La opción "Planetas" es una ventana especial que muestra la trayectoria de un sistema de cuerpos cuyo movimiento se rige por una fuerza de atracción inversa del cuadrado de la distancia. Cada cuerpo ejerce en los demás un fuerza proporcional a las masas de los cuerpos y al inverso del cuadrado de la distancia que los separa.  Para ver y cambiar las especificaciones del sistema orbital,  basta hacer clic en "edición" (en el inventario).

Descarga del software

Para descargar Winplot, utilice el siguiente vínculo:

Winplot (versión 1.45, en español)

Para versiones en otros idiomas se puede recurrir a la página http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html